Examples of Lindblad equation
本文是为本学期量子力学专题研讨课准备的讲义，此前的一些知识内容由另一位同学讲述，故本文并不是一篇适合阅读的文章。发在博客上主要是尝试一下使用Pandoc将latex转换为md后的效果，事实表明对一些相对复杂的公式支持并不好。
Brief introduction to Kraus OSR
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整个系统被分为bath、system两部分，分别使用下标S、B表示，无下标的量对应整个系统（在不引起混淆的情况下，有时会省略S的下标）
最一般的系统演化可用酉算符\(U(t)=e^{iHt}\)表示为\(\rho(t)=U(t)\rho(0)U^{\dagger}(t)\)。对于bath的初态，我们可以进行谱分解$B(0)=_
\langle \nu \rvert$，$\lambda_\nu$对应了初态处于该态的概率，注意这里我们假定取的$\lvert \nu \rangle$是正交归一的（由之前的讨论，我们知道总能找到一组合适的基底实现）。我们关注的system的演化对应了对B取偏迹：\(\rho_S(t)=Tr_B[(\rho(t))]\)，于是我们可以得到表达式： \[\rho_S(t)=Tr_B[\rho(t)=U(t)\rho(0)U^{\dagger}(t)]=\sum_\mu \langle \mu \rvert U(t)\rho(0)U^{\dagger}(t) \lvert \mu \rangle\]
同之前一样，我们假定初态是解耦的\(\rho(0)=\rho_S(0)\otimes \rho_B(0)\)，则上式可改写为 $$ \[\begin{aligned} \rho_S(t) &=\sum_\mu \langle \mu \rvert [U(t)\rho_S(0)\otimes (\sum_\nu \lambda_\nu \lvert \nu \rangle \langle \nu \rvert )U^{\dagger}(t)] \lvert \mu \rangle \\ &=\sum_{\mu\nu}\sqrt{\lambda_\nu} \langle \mu \rvert U(t) \lvert \nu \rangle _B\rho_S(0)\sqrt{\lambda_\nu} \langle \nu \rvert U^\dagger(t) \lvert \mu \rangle _B =:\sum_{\mu \nu}K_{\mu\nu}(t)\rho_S(t)K_{\mu\nu}^\dagger(t) \end{aligned}\]$$ 其中，\(K_{\mu\nu}(t):=\sqrt{\lambda_\nu} \langle \mu \rvert U(t) \lvert \nu \rangle _B\)，称为Kraus operator。注意此处内积仅仅是对bath空间的部分，做完内积之后，我们剩下的仍是算符，该算符仅作用在system空间上。（这正是我们研究开放量子系统的思路，把外界的影响"打包"，只关注系统本身的空间）
使用Kraus operator描述系统演化的表现我们称为Kraus Operator Sum Represntation(OSR)，上述我们写出的形式，有着和薛定谔方程一样的地位（为简单，以下直接称该方程为薛定谔方程）： \[\rho_S(t)=\sum_{\mu\nu}K_{\mu\nu}(t)\rho_S(0)K_{\mu\nu}^\dagger(t)\]
不难验证，Kraus operator满足性质 \(\sum_{\mu\nu}K^\dagger_{\mu\nu}(t)K_{\mu\nu}(t)=I\)
从另一个角度，我们可以粗暴地把上述薛定谔方程中对初态\(\rho(0)\)的作用看作一个映射\(\Phi\)，即\(\rho(t)=\Phi[\rho(0)]\)，那么由此前我们熟知的一些性质，可以导出这个抽象的映射必须满足某些性质，在此简单列出，我们后面并不会用到这些性质，不详细推导，细节可见讲义：
Trace preserving: \(Tr[\Phi(\rho)]=Tr[\rho]\)
Linear
Positivity：将正定的算符映到正定算符（密度矩阵可以看作算符）
上一条可以加强为Complete Positivity：和任意维数的恒等算符做直积得到的\(\Phi\otimes I^{(k)}\)，仍具有Positivity。
性质3和4的区别在初看时很难看出，讲义26页给出了一个反例，有兴趣的同学可以阅读。另一方面，定理给出（Page26），满足上述性质（1、2、4）的映射，都可以有一个Kraus operator sum represntation
该讲义中还提到过一个有意思的概念：Non-selective
Measurement，即我们对一个系统进行测量，但不去读出它的结果（那我岂不是测量了个寂寞？）。这一过程与不进行测量的区别在于，我们知道我们真的做了测量，在测量之后，系统被投影到所测物理量算符的本征态，稍加思考我们便可以注意到，这将会把一个叠加的纯态转变为混态！
A Simpler Derivation of Lindblad Equation
简单介绍了Kraus
operator的理论后，我们可以用泰勒展开简单地推导Lindblad
Equation，该部分步骤请直接参考讲义45--47页（懒得敲了）。在此仅列出一些新的参量的关系式备用。
\[K_0=I+L_0dt\] \[K_\alpha=L_\alpha\sqrt{dt},\quad \alpha \ge
1\] \[\text{对算符$L_0$的厄米和反厄米部分分解，其中A、H均为厄米算符，H被称为哈密顿量:}L_0=A-iH\]
\[A=-\frac{1}{2}\sum_{\alpha\ge
1}L^\dagger_\alpha L_\alpha\] \[\frac{\mathrm{d}^{}\rho}{\mathrm{d}t^{}}
=-i[H,\rho(t)]+\sum_{\alpha\ge
1}\gamma_\alpha(L_\alpha\rho(t)L^\dagger_\alpha-\frac{1}{2}\{L^\dagger_\alpha
L_\alpha,\rho(0)\})\]
Example: Single Qubit
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我们考虑仅有一个qubit的系统，在应用Lindblad Equation之前，我们需要先介绍一个研究该问题的十分简单的视角。
Qubit指二态量子系统，其希尔伯特空间 \(\mathcal{H}=\mathbb{C}^2=span\{ \lvert 0 \rangle , \lvert 1 \rangle \}\)，其中的密度矩阵形如： \[\rho = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}\] 由密度矩阵的性质(迹为1、厄米)，这四个参量满足一定约束，最终只有三个自由度，具有如下形式： \[\rho= \begin{bmatrix} a & b \\ b^* & 1-a \\ \end{bmatrix} \quad a\in \mathbb{R},b\in \mathbb{C}\]
利用我们熟悉的Pauli矩阵： \[\sigma_1=\sigma_x=X= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \quad \sigma_2=\sigma_y=Y= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{bmatrix} \quad \sigma_3=\sigma_z=Z= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}\] 并引入\(\sigma_0=I\)为单位阵，则密度矩阵的表达式可完全对应以下形式： \[\rho=\frac{1}{2}(I+\sum_{i=1}^3v_i\sigma_i)=\frac{1}{2}(I+\vec{v}\cdot\vec{\sigma})=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1+v_z & v_x-iv_y \\ v_x+iv_y & 1-v_z \\ \end{bmatrix}\] 利用密度矩阵迹为1，本征值非负，有约束条件\(\Vert \vec{v} \Vert \le 1\)，这样的矢量对应了一个球体，即Block sphere。注意到，由上述表达式，\(Tr[\rho^2]=\frac{1}{2}(1+\Vert \vec{v} \Vert^2)\)利用\(Tr[\rho^2]=1\)作为纯态判据可以发现，球面上的态为纯态，而球体内的态为混态。在密度矩阵上作用算符，相当于对球体（上的每一个矢量）进行一定的操作，从而可以得到一定的几何直观。
介绍完该几何角度，我们回到对Lindblad equation（以下简称LE）的应用，在这个例子中，我们取\(\gamma_\alpha=0 \quad \forall \alpha\)，此时LE退化为\(\dot{\rho}=-i[H,\rho]\)，H的一般形式可写为\(H=h_0I+\sum_ih_i\sigma_i=h_0I+\vec{h}\cdot\vec{\sigma}\)，代入计算对易关系： \[-i[H,\rho]=-\frac{i}{2}\sum_ih_i[\sigma_i,\vec{v}\cdot\vec{\sigma}]=-\frac{i}{2}\sum_{i,j}h_iv_j[\sigma_i,\sigma_j]=\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}h_iv_j\sigma_k=(\vec{h}\times\vec{v})\cdot \vec{\sigma}\] 由于\(\vec{\sigma}\)为常量，\(\rho\)的导数可改写为\(\dot{\rho}=\frac{1}{2}\dot{\vec{v}}\cdot\vec{\sigma}\)，代入上式的左侧可得： \[\dot{\vec{v}}\cdot\vec{\sigma}=2(\vec{h}\times\vec{v})\cdot \vec{\sigma}\] 将上式拆分为三个标量方程即可得到关于\(v_x,v_y,v_z\)的方程组，称为Bloch equations。可以验证，其解为\(\vec{v}\)绕轴\(\vec{h}\)以频率\(2\Vert \vec{h}\Vert\)转动。（一个不严谨的看法：和\(\vec{\sigma}\)内积相等直接推出矢量相等）
Example: Phase Damping
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上一个例子过于平凡，以至于它看起来完全可以在我们熟悉的封闭系统的框架内解决，接下来我们看一个稍微"复杂"一点的例子。
取\(L_1=\sigma_z=Z,\quad \gamma_1=\gamma,\quad \gamma_{\alpha\ge 2}=0,\quad H=0\)，代入LE得： \[\frac{1}{2}\dot{\vec{v}}\cdot\vec{\sigma}=\dot{\rho(t)}=\gamma(Z\rho Z^\dagger-\frac{1}{2}\{Z^\dagger Z\rho\})=\gamma(Z\rho Z-\rho)\] 注意到\(Z\rho Z=\frac{1}{2}(I-v_xX-v_yY+v_zZ)\)，将上式中各参量展开可得： \[\frac{1}{2}(\dot{v}_xX+\dot{v}_yY+\dot{v}_zZ)=-\gamma(v_xX+v_yY)\] 由各参量对应相等可得：
\[\begin{aligned} \dot{v}_x=-2\gamma v_x &\Rightarrow v_x(t)=v_x(0)e^{-2\gamma t} \\ \dot{v}_y=-2\gamma v_y &\Rightarrow v_y(t)=v_y(0)e^{-2\gamma t} \\ \dot{v}_z=0 &\Rightarrow v_z(t)=v_z(0) \end{aligned}\]
在\(\gamma>0\)时，x、y方向随时间增大而指数衰减，z方向保持不变，这对应于将整个Bloch sphere以z轴为中心进行收缩。若我们抛弃假定\(H=0\)，则与上一个例子类似，球体在收缩的同时还会绕某轴转动。
Example: Amplitude damping/Spontaneous Emission
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取$L_1=^-=
\langle 1 \rvert=(+)1={}=0 H=0$，代入LE得： $$==(-+ -{+-,})=(
\langle 1 \rvert
\langle 0 \rvert-{
\langle 0 \vert 0 \rangle
\langle 1 \rvert$$ 除了x、y方向发生收缩外，z轴也逐渐收缩到z=1处，系统终态为$
\langle 0 \rvert$Example: Spin-boson Model for Phase Damping
前面的例子都是直接给出了LE中的各L算子，而我们最希望看的情况是，直接给出一个具有物理意义的哈密顿量，我们要如何写出算子的形式呢？我们在这个例子中将进行实际的运算。（当然，这注定是一个十分痛苦的过程。）
在介绍该部分之前，我们需要简答介绍一下编时算子：
在哈密顿量含时时，不同时刻的哈密顿量可能会出现不对易的状况，此时我们如果还是希望直接将演化写成积分\(\int e^{-iH(t)t}\)就需要指定这些指数相乘的次序，以免内部胡乱对易冒出奇奇怪怪的结果，于是我们引入了编时算子，告诉它计算时要按照时间演化的顺序依次相乘：\(T_+\int e^{-iH(t)t}\)
现在，我们跟着讲义的第十章推导含时作用下的LE方程。
方程导出
首先，我们选取\(\mathcal{H}_S\)中算符的一组基底\(\{F_i\}_{i=0}^{d_S^2-1}\)，并规定\(F_0=I\)，并用这组基底展开Kraus operator，得到展开式\(K_\alpha(t)=\sum_i b_{i\alpha}(t)F_i\)。此时薛定谔方程化为\(\rho(t)=\sum_{ij} \chi_{ij}(t)F_i\rho(0)F_j^\dagger\)，其中\(\chi_{ij}=\sum_\alpha b_{i\alpha}(t)b_{j\alpha}^{*}(t)\)。由于我们特别规定了\(F_0=I\)，我们将含有指标0的项单独列出，以进行化简。 \[\rho(t)=\chi_{00}(t)\rho(0)+\sum_{i>0}(\chi_{0i}(t)\rho(0)F_i^\dagger+\chi_{i0}(t)F_i\rho(0))+\sum_{i,j>0}\chi_{ij}(t)F_i\rho(0)F_j^\dagger\] 由Kraus operator的归一化关系: \[I=\sum_\alpha K^\dagger_\alpha(t) K_\alpha(t)=\sum_{ij}\chi_{ij}F^\dagger_jF_i=\chi_{00}(t)+\sum_{i>0}(\chi_{0i}(t)F_i^\dagger+\chi_{i0}(t)F_i)+\sum_{i,j>0}\chi_{ij}(t)F_j^\dagger F_i\] 适当的变换给出： \[\rho(t)-\rho(0)=\frac{1}{2}\sum_{i>0}((\chi_{i0}F_i\rho(0)-\chi_{0i}F_i^\dagger\rho(0))-(\chi_{i0}\rho(0)F_i-\chi_{0i}\rho(0)F_i^\dagger))+\sum_{i,j>0}\chi_{ij}(t)(F_i\rho(0)F_j^\dagger-\frac{1}{2}\{F_j^\dagger F_i,\rho(0)\})\] 我们定义新的参量\(Q(t)=\frac{i}{2}\sum_{j>0}(\chi_{j0}F_j-\chi_{0j}F_j^\dagger)\)，注意到这是一个厄米算符，则上式可改写为 \[\rho(t)-\rho(0)=-i[Q(t),\rho(0)]+\sum_{i,j>0}\chi_{ij}(t)(F_i\rho(0)F_j^\dagger-\frac{1}{2}\{F_j^\dagger F_i,\rho(0)\})\] 开始时，\(\{F_i\}\)只是我们任意选取的一组基底，现在我们要求选取使得\(\chi_{ij}\)被对角化的基底（注意到\(\chi=bb^\dagger\)，可以被对角化），设变换矩阵为u，新的一组基底为\(\{L_i\}\)，则有关系\(L_k=\sum_{j>0}u_{kj}^*F_j\)，可以验证，在这样的变换下，我们刚刚推出的方程形式不变，只需把所有的F换为L即可。
现在我们得到的方程在形式上已经十分接近LE了，为了能够得到LE，我们需要开始作出一些近似。整体思路是，分成以\(\tau\)为间隔的小时段，将系统的演化再次离散化"打包"，并假定一些好的性质以便于操作，细节可以看讲义Page51--53，我们直接给出最后得到的方程： \[\dot{\rho(t)}=-i[\langle \dot{Q} \rangle_0,\rho(t)]+\sum_{k>0}\langle \dot{\gamma_k}\rangle_0(L_k\rho(0)L_k^\dagger-\frac{1}{2}\{L_k^\dagger L_k,\rho(0)\})\] 其中，\(\gamma\)为\(\chi_{ij}\)对角化后的对角元素，符号\(\langle\dot{A}\rangle_0:=\frac{A(\tau)-A(0)}{\tau}\)，特别地，可以推导出\(Q(0)=0\quad \gamma_k(0)=\delta_{k0}\)
最后，为了计算方便，我们将上述方程转化到我们上节课讨论过的相互作用表象下，在此仅列出最后的结果和一些基本关系式： \[H(t)=(H_S+H_B)+H_{SB}\] \[\frac{\mathrm{d}^{}U(t)}{\mathrm{d}t^{}} =-iH(t)U(t)\] \[\frac{\mathrm{d}^{}U_0(t)}{\mathrm{d}t^{}} =-i(H_S+H_B)U_0(t)\Rightarrow U_0=e^{-iH_St}\otimes e^{-iH_Bt}\] \[\tilde{U}(t):=U_0^\dagger(t)U(t)\] \[\frac{\mathrm{d}^{}\tilde{U}(t)}{\mathrm{d}t^{}} =-i\tilde{H}(t)\tilde{U}(t)\qquad \tilde{H}(t)=U^\dagger_0(t)V(t)U_0(t)\] \[\tilde{\rho}_{SB}(t):=\tilde{U}(t)\rho_{SB}(0)\tilde{U}^\dagger(t)\qquad \tilde{\rho}(t)=\sum_\alpha\tilde{K}_\alpha(t)\rho(0)\tilde{K}_\alpha^\dagger(t)\] \[\dot{\tilde{\rho}}(t)=-i[\langle \dot{\tilde{Q}} \rangle_0,\tilde{\rho}(t)]+\sum_{k>0}\langle \dot{\tilde{\gamma}}_k\rangle_0(L_k\tilde{\rho}(0)L_k^\dagger-\frac{1}{2}\{L_k^\dagger L_k,\tilde{\rho}(0)\})\qquad \tilde{Q}=Q-H_S\]
例题计算
给定哈密顿量：\(H_S=-\frac{1}{2}gZ,\quad H_B=\sum_k\omega_k(n_k+\frac{1}{2}),\quad H_{SB}=Z\otimes (\sum_k\lambda_ka_k+\lambda_k^*a_k^\dagger)\) 其中，\(a_k\)、\(a_k^\dagger\)是我们熟悉的湮灭和产生算符，\(n_k=a_k^\dagger a_k\)。利用表达式\(x=\frac{a+a^\dagger}{\sqrt{2m\omega}}\)，可以得到\(\lambda_k\propto\frac{1}{\sqrt{\omega_k}}\)
由此，我们计算出在相互作用表象下的哈密顿量为 \[\tilde{H}_{SB}(t)=Z\otimes (\sum_k\lambda_k e^{-i\omega_kt}a_k+\lambda^*_ke^{i\omega_kt}a^\dagger_k)\]
假定bath的初态为Thermal Gibbs state： $$B(0)=e^{-H_B}={}e{-E_}
\langle \nu \rvert=:{}^
\langle \nu \rvert$$则可以计算出： \[\langle a^\dagger_k a_l \rangle_B=\frac{\delta_{kl}}{e^{\beta \omega_k}-1},\qquad \langle a^\dagger_k\rangle_B=\langle a_k\rangle_B=\langle a_ka_l\rangle_B=\langle a^\dagger_ka^\dagger_l\rangle_B=0\]
最终得到LE方程的形式为: \[\dot{\tilde{\rho}}(t)=\gamma(t)(Z\tilde{\rho}(t)Z-\tilde{\rho}(t))\]
这个妹妹LE方程好像在哪里见过？历尽千辛万苦，我们终于回到了Phase
damping的例子！
事实上，这个模型可以精确求解，具体内容有兴趣的同学可以阅读第十一章（友情提醒：开始就会碰到Dyson级数）
Reference
除本次讨论课原计划使用的Lecture Notes on the Theory of Open Quantum Systems外，在准备过程中还参考了以下来源的资料：
总是给出错误回答但可以告诉我该搜索什么关键词的ChatGPT
对于含时哈密顿量，其演化算符的表达式中要出现编时算符（如下图），那什么情况下，编时算符可以去掉呢？ - 東雲正樹的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/544556580/answer/2591618680
有序积分 - 单纯猫的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/574925885