A classical derivation of BEC

在讲义上推导巨配分函数时（注：此处指本学期热统课程老师的自编讲义），有一步推导中，我们自然假定了配分函数Z以\(\frac{V}{N}\)为底，以N为幂次迅速增大。这一说法是不严谨的，因为这个表达式是量纲依赖的，我们需要把动量部分也放进来实现无量纲化。 \[Z=[(\frac{\sqrt{2\pi mkT}}{h})^3\frac{eV}{N}]^N\] 为了估计这一说法的合理性，我们对除了\(\frac{V}{N}\)的部分代入常数的具体数值，估计其量级。 \[(\frac{\sqrt{2\pi mkT}}{h})^3\approx10^{30} m^{-3}\] 其中，质量取为单位原子质量，温度取为300K。

这个式子意味着，为了使底数的数值近似为1，我们需要把平均每个粒子所占据的体积控制在\(10^{-30}m^3\)，而对其取立方根即为\(10^{-10}m=1A\)，恰为原子半径！考虑到当前的实验手段可以将温度控制到mK的量级，我们完全可以实现使得配分函数的底数小于1，因而在没有引入\(e^{-\gamma V}\)的条件下，直接让Z随着N迅速衰减，这也意味着我们无法通过变换得到吉布斯配分函数。

这个时候意味着什么样的物理呢？极低温下，粒子紧凑地聚集在一起，顺着这些关键词，我们很容易想到一个熟悉的现象：玻色爱因斯坦凝聚。BEC的模型是在量子统计的背景下导出的，有临界温度的存在，那么我们这个让配分函数的底趋近于1的想法，给出的温度估算值又会是什么样的呢？简单的计算给出如下表达式： \[T=\frac{h^2}{2\pi mk}(\frac{N}{eV})^{\frac{2}{3}}\Rightarrow N=eV(2\pi mkT_c/h^2)^{3/2}\] 该结果与在第四章中推导出的结果十分接近，仅仅将系数2.612变成了e=2.718。

一个尚未解决的问题在于，为什么底数取为1恰可以对应上BEC？

由于底数部分刻画了Z随N的变化方式，由于Z对应了亥姆霍兹自由能F，故底数应当体现出F对N的导数的性质，亦即化学势\(\mu\)，底数趋近于1的行为与化学势趋近于0的行为相对应。